OMJERI I RAZMJERI

  Omjeri i razmjeri (proporcije)
 PRVA STRANICA     

Kompozicijska načela: ritam, kontrast, ravnoteža, harmonija, dominacija , jedinstvo

 Pitagora i pitagorejci
 Pitagora i glazba
 Harmonijski niz: građenje muzičkih ljestvica
 Proporcije ljudskog lika kroz umjetnost
 Zlatni rez 1
 Zlatni rez 2

Jozef Albers:
Počast kvadratu, 1970.

 

 

24:12=2      32:16=2
16:8=2        8:4=2
36:16=8:4   (a:b=c:d)
Svi omjeri u slici su izjednačeni. Brojevi 4, 8, 16 i 32 članovi su geometrijskog niza.

.
Jozef Albers:
Počast kvadratu
, 1970.

 

 

16:16 = 8:8 = 4:4
I na ovoj su slici omjeri izjednačeni; ali njihov razmak, "korak" (8,8,8), je jednak. Takav niz je aritmetički niz.



Dorifor (Kopljonoša): grčki kanon mjera.
Razmjer je u odnosima: a:b=b:c=c:d=d:e=e:f


Kanoni proporcija egipatskih likova


:Leonardo da Vinci i Le Corbusier:
proporcijske studije u 15. i 20. stoljeću


Partenon: odnosi po mjeri čovjeka i prirode

 

 


Povlaštena mjesta u formatu

 

 

 

Zainteresirani za ovakav oblik strukturalne analize (kao na desnim primjerima) mogu pronaći mnoštvo primjera u knjizi:
Mladen Pejaković: "Zlatni rez"
Nakladnik: Art studio Azinović d.o.o.
Zagreb, Đorđićeva 22
tel./faks: 01/4816-671

 

  Omjerom nazivamo međusobni odnos veličina dvaju elemenata jedan prema drugome. Jedan lik je dvostruko veći od drugog; jedan je tri puta manji od drugog; jedan je jednak drugome ali je četiri puta veći od trećeg, i sl. Omjer tijela prema glavi na "Kopljonoši" jest 1 : 7.

Postavimo u odnose više elemenata: mali čekić i dvostruko veći; glazbene tonove c1 i c2 (razmak oktave), dijete visoko 90cm i odraslog čovjeka visokog 180cm te brojeve 13 i 26. Tematski, između njih nećemo naći ništa zajedničko, ali već na drugi pogled uočavamo kako su svi parovi postavljeni u odnose 1:2, tj. u omjer dvostruke vrijednosti jednog elementa prema drugom. Pronašavši na taj način zajednički nazivnik naizgled nespojivim pojavama počinjemo govoriti o razmjeru (proporciji): postavili smo u odnos više omjera i više veličina. Kod razmjera je omjer uvijek sačuvan; razmjer je izjednačavanje omjera. Razmjeri su:
a : b = c : d
a : b = b : c (tzv. neprekinuta proporcija)
a : b = b : (a + b) tzv. "zlatni rez"
Primjerice:
omjer: 4 : 2 (= 2)
razmjerno: 8 : 4 (=2), 32 : 16 (=2), 100 : 50 (=2), itd.
Ujedno uočavamo kako za elemente u omjeru koristimo znak ":" koji matematički zovemo dijeljenje, pa je tako omjer elemenata uvijek izračunljiv, izmjerljiv i postavljiv u daljnje odnose, tj. razmjere.
Iz ovog pravila proizlaze progresivni nizovi brojeva, u kojima se bilo koja dva susjedna broja međusobno jednako odnose kao bilo koja druga dva susjedna broja. Najpoznatiji proporcionirani nizovi su:
Aritmetički niz: uvijek isti broj zbraja se sa svakim slijedećim članom niza, što čini sve veličine između dva člana uvijek jednake, npr:
1, 2, 3, 4, 5... (svaki broj zbraja se sa 1), ili: 1, 4, 7, 10... (zbroj s 3), itd.
Geometrijski niz: uvijek isti broj množi se sa svakim slijedećim članom niza, što čini da se veličine između dva člana velikom brzinom povećavaju, npr:
1, 2, 4, 8, 16, 32... (množenje s 2), ili: 1, 3, 9, 27, 81... (množenje s 3); itd.
Harmonijski niz: počinje od cijelog broja (1), koji se dijeli na polovinu, trećinu, četvrtinu, petinu, šestinu i tako u beskraj. Dakle: 1, 1/2, 1/3 (ili 2/3), 1/4 (ili 3/4), 1/5 (ili 4/5), 1/6 (ili 5/6) itd. Pošto je harmonijski niz zapravo aritmetički niz pod razlomkom (1, 2, 3, 4... - 1, 1/2, 1/3, 1/4...) o njemu se govori i kao o obrnutoj proporciji. U njemu će mnogi prepoznati tajnu percipiranja svijeta: Pitagora uspostavlja glavne konsonante: 1/2=oktava, 2/3=kvinta, 3/4=kvarta; a Leonardo će zapisati kako ono što je u prirodi u aritmetičkom nizu (drvored) vidimo kao harmonijski niz (geometrijska perspektiva). Zbog ovog niza grčki filozof Zenon pobija mogućnost kretanja: ako ispustim kamen iz ruke, prije negoli padne na zemlju mora prvo doći do polovine puta; a prije toga do prve trećine; a prije do četvrtine, a prije do petine... Zapravo, kaže Zenon, ne može uopće ni krenuti!

Fibonaccijev niz
: dva člana niza zbrojena međusobno daju slijedećeg člana niza: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Omjeri u ovom nizu su u "zlatnom rezu": 1, 618... Ovu činjenicu još odavno koriste umjetnici tražeći u proporcijama (omjerima i razmjerima) odraz načela stvaranja u prirodi, neki "zajednički nazivnik" koji bi bio dokaz "traga ruke" zajedničkog Stvaraoca. Najpoznatiji rezultat tog istraživanja poznajemo pod imenom "Zlatni rez", razmjer veličina u kojem se manji dio odnosi prema većem kao taj veći prema cjelini (ukupnom zbroju manjeg i većeg). Formulom:
a : b = b : (a + b)
ili: minor : Major = Major : cjelina
Više o Zlatnom rezu u prirodi i Zlatnom rezu u umjetnosti. Recimo samo da se otkriće Zlatnog reza pripisuje starim Grcima, zbog njihovih zabilješki i instrumenata koje su koristili, ali proporcije Zlatnog reza nalazimo već na Egipatskim građevinama, što je rezultat njihovih astronomskih i drugih mjerenja prirode kojoj je Zlatni rez jedno od osnovnih oblikovnih načela. Razmjer Zlatnog reza izražen je u Fibonaccijevom nizu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Svaki slijedeći broj jednak je zbroju prethodna dva broja.

Traganje za savršenim proporcijama dovelo je umjetnike stare Grčke do uspostavljanja kanona odnosno modula, osnovnih mjera, proporcionalnih pravila za prikaz idealnih mjera ljudskog tijela. Najčešće se koristio odnos veličine glave prema ostatku tijela, što je kod kipara Polikleta iznosilo 1:6, a kod kipara Praksitela 1:7; veličina glave išla je 6 ili 7 puta u veličinu tijela. Prema povjesničaru umjetnosti Winkelmannu Grci su svoju djecu vježbali u crtanju ljudskih tijela kako bi se naučila gledati i vidjeti proporcionalne odnose, i tako stekli smisao za lijepo. Modulima se bavio i Vitruvije u antici, Leonardo da Vinci i Albrecht Durer u 15.st., te Le Corbussier u 20. st.

Ta ista znanja o pravilnim odnosima veličina koristi se i za namjerno kršenje pravila, posebno u karikaturi (ističu se smiješni ili karakteristični elementi neke osobe) i u tzv. naivnom slikarstvu. Disproporcionalnost je posebno vidljiva u dječjem crtežu, gdje se semantičkom (ikonološkom) perspektivom naglašavaju važnije stvari u prikazu; mnogi umjetnici su stoga uzore tražili upravo u dječjem likovnom izrazu.

Nadalje, proporcionalnost je važna i u arhitekturi. Još od stare Grčke poznajemo geslo "čovjek kao mjerilo stvari", što treba prihvatiti na dvije razine: prvo, arhitektura uvijek ima utilitarno svojstvo, njena funkcija određuje njen oblik i mjere. To znači da vrata, primjerice, moraju odgovarati svojom visinom prosječnoj visini osoba koja će ta vrata koristiti odnosno prolaziti kroz njih. Žlijebovi na stupovima grčkih hramova (kanelire) imaju širinu ljudskih leđa, kako bi se osobe koje se okupljaju ispred hrama mogu nasloniti u njih i odmoriti. Drugo, u projektiranju zgrada koriste se omjeri i razmjeri ljudskih proporcija, čime se stvara osjećaj sklada i prihvaćanja od strane gledatelja koji na nesvjesnoj razini u odnosima arhitektonskih elemenata prepoznaje odnose vlastitog tijela. Stup se, primjerice, omjerom kapitela i stupa odnosi kao ljudska glava prema tijelu; a razmak među stupovima razmjeran je rasponu koraka čovjeka.

Posebno je važno i ovo:
hrvatska riječ "razmjer" na latinskom se zvala "proporcija", a na grčkom"analogija". Pitagora je, prema pričanju, prolazeći pored kovačnice čuo cvukove udaranja čekića o nakovanj u oktavama. Ušavši, vidio je kako su čekići načinjeni u omjeru 1 : 2, tj. jedan je dvostruko veći od drugog. Time se stvorio analogan, tj. proporcionalan odnos:
manji čekić prema većemu je kao nota c prema noti c1.
Ta spoznaja omogućila mu je istraživanje sakrivenih odnosa među stvarima koje je počeo svugdje pronalaziti; stoga je za Univerzum skovao naziv Kozmos, Uređeni, suprotan od Kaosa. Iz ovih razmišljanja pojavljuju se riječi struktura (nadređeni red) i korelacija - sukladnost po istim načelima (dakle, ne po temi, već po sadržaju). Na ovim principima treba održavati nastavu u školama, to je ono što pojam korelacije doista znači! Otkrivanjem sakrivenih relacija učenik ne usvaja samo znanje, već i oduševljenje u promatranju i istraživanju.

Napokon, proporcionalnost je od izuzetne važnosti pri konstruiranju kompozicija u slikarstvu.
To znači da se već sam format platna ili papira pažljivo određuje odnosom visine prema širini; najpoznatiji je tzv. auron, "zlatni pravokutnik", kojemu su stranice u odnosu Zlatnog reza, ali format može biti i dvostruki kvadrat, ili u nekom drugom odnosu.
Zatim, svaki format ima u sebi raspoređene nevidljive povlaštene točke koje utjeću na silnice koje se aktiviraju smještajem likova na ta mjesta. Najvažniji je svakako centar (polovica formata, vertikalna i horizontalna) prema kojemu likovi "padaju", "lebde", "stabilni" su ili "nestabilni". Tu su zatim trećine, zlatni rezovi i dijagonale, a zatim cijeli mikrosvijet koji nastaje kombinacijama ovih pravila. Mjesto na kojem se sjeku dva zlatna reza - vertikalni i horizontalni - nazivamo "optičko središte (ne brkati sa "očištem" u geometrijskoj perspektivi). Veoma važan dio likovnog izražaja čini odabir mesta unutar formata na koja autor smješta pojedine elemente svoje kompozicije. Pogledajmo (samo slikovni) primjer:


Pietro Vannuci zvan "Perugino": "Predaja ključeva"