Gledajući raznovrsnu pojavnost svoje okolice čovjek o njoj stječe neke intuitivne dojmove. Oblici kod gledaoca dobivaju za njega subjektivne karakteristike – vidi ih kao “vitke”, “zdepaste”, “elegantne” ili ne, sviđaju mu se ili ne sviđaju. Ukus je bitan čimbenik čovječjih reakcija na podražaje: on će birati i oblikovati predmete i okolicu po nekom svom nahođenju, iako najčešće neće moći objasniti što je to što prepoznaje kao lijepo. “Ne znam što je umjetnost, ali znam što mi se sviđa”, izjava je koju često možemo čuti. “Sviđanje” se umeće i u prirodne pojave i oblike, lijepi su zalasci sunca, šarene krošnje stabala u jesen, puževi i školjke sa svojim vijugama; i cvijeće nas privlači sve do uključivanja u manire ponašanja – darujemo ga i njime ukrašavamo okolinu; u gradovima želimo što više parkova i zelenila, držimo kućne ljubimce, vikendom odlazimo u prirodu – prema kojoj očigledno osjećamo jaku pripadnost i ne želimo je se odreći. Ima li u svim tim nevidljivim osjećajima i ukusima nešto izmjerljivo, izračunljivo, čime bismo dokazali i učinili vidljivom tu vezu čovjeka i prirode?

slika 1: grafikon odabira najljepšeg pravokutnika

F. Th. Fecher (1876) učinio je pokus, otada više puta ponavljan. Ispitanicima je ponuđeno deset pravokutnika različitih omjera (odnosa stranica), između kojih je najveći broj ispitanika izabrao jedan određeni sa omjerom 21:34 kao najljepši (P. von Naredi-Rainer: Arhitektur und Harmonie, Dumont, Köln, 1982). (slika 1)
   Mi znamo za taj omjer brojeva: još od doba antičke Grčke, Platona u “Teetetu” i Euklida u X. knjizi “Elemenata” govorimo o dinamičkoj simetriji ili sumjerljivosti u kvadratu, odnosno o Zlatnom pravokutniku ili Zlatnom rezu. Što je to?

Definicija zlatnog reza govori o razmjeru – što znači o odnosu dvaju omjera. “Manji dio prema većem odnosi se jednako kao veći dio prema cjelini”. Ili: “minor:major=major:cjelina”. Ili: “ A:B=B:(A+B)”.
Geometrijska konstrukcija zlatnog reza moguća je na nekoliko načina:
Dužinu AB dijelimo na pola i prenosimo dužinu te polovine pod pravim kutom lijevo ili desno; dobili smo točku C. Nju spajamo s točkom B. Veličinu AC prenesemo s točke C na dužinu CB, čime dobijemo točku A1. Iz točke B šestarom prenesemo dužinu BA1 na dužinu AB i dobivamo točku D koja presjeca prvobitnu dužinu AB na odnos major (BD) i minor (DA). (slika 2)

slika 2: konstrukcija z.reza 1

slika 3: konstrukcija z. reza 2

Drugi način konstrukcije je da kvadrat stranica 1:1 prepolovimo po okomici, i spustimo dijagonalu polovice (AB) na bazu. Iz novodobivene završne točke baze (D) podižemo okomicu u C i zatvaramo kvadrat. (slika 3)

slika 4: konstrukcija z. reza 3

Treći način je malo duži: dijagonala kvadrata stranice 1 koja iznosu korijen iz 2 prenese se šestarom na produženu stranicu kvadrata. Omeđuje se pravokutnik kojem su duže stranice korijen iz 2, a kraće 1. Ponavlja se isti postupak, tj. dijagonala pravokutnika korijen iz 2 koja iznosi korijen iz 3 prenosi se na produženu stranicu itd., dok se ne stigne do pravokutnika korijen iz 5. Tada se povuče simetrala na dulje stranice i iz donjih vanjskih kuteva se dižu lukovi kojima je radijus polovica dužine stranice do sjecišta s gornjom stranicom. Iz tih točaka se spuste okomice koje zatvaraju kvadrat. S obje strane kvadrata preostala su dva manja pravokutnika koji svaki ponaosob s kvadratom daju zlatni pravokutnik. (slika 4)

Ovim konstrukcijama smo dobili dvije dužine u omjeru koji čini bazu i stranicu onog kvadrata koji su većina ispitanika prepoznali kao “najljepši”. Za njegove stranice smo rekli da su bile u odnosu 21:34. Rezultat tog dijeljenja iznosi 0,617647… iracionalni broj, matematički nemjerljiv.

Međutim, u 13. st. jedan je matematičar, Leonardo iz Pise zvan Filius Bonaccio postavio aditivni niz brojeva u kojem je svaki slijedeći broj jednak zbroju prethodna dva: 1:1:2:3:5:8:13:21:34:55:89:144… a koji je po njemu dobio ime Fibonaccijev niz. Primjećujemo naš omjer 21:34 kao dio tog niza, a računanje će pokazati da svi brojevi ovog niza podijeljeni sa svojim sljedbenikom, prvim većim brojem,(npr.34:55) uvijek daju rezultat 0,6…, dakle praktički konstantan razmjer kroz cijeli niz – čime smo zagospodarili neuhvatljivim iracionalnim brojevima sa beskonačnim razlomkom. Obrnuti postupak, dijeljenje većeg sa prvim manjim članom niza davati će konstantnu aproksimativnu vrijednost 1,6. Tako su zapravo svi brojevi Fibonaccijevog niza u grupama po tri člana (npr. 8:13:21) u zlatnom razmjeru. Osnovna mjera zlatnog kvadrata tako iznosi 1:1,618. Oznaka za zlatni rez je , “fi”.

Kako još možemo doći do zlatnog reza? Recimo, rasijecanjem kružnice na pet jednakih dijelova, što se postiže ovako (slika 5): radius kružnice (BD) dijeli se na pola (E) i povezuje sa okomicom nad centrom (C); dužina EC se spušta na dijametar (AD) u točku P, koja se opet spaja sa točkom C; dužina CP se prenosi na obod kružnice – točka P1. P1C ulazi pet puta u kružnicu, bez ostatka. Ako dobivene vrhove spojimo, dobili smo pravilan pentagram, čiji presjeci dužina krakova ponovno čine pravilne zlatne rezove ( c(3):b(5)= b(5):a(8) , 3:5=5:(3+5=8) ). (slika 6)

slika 6: zlatni odnosi krakova unutar pentagrama

slika 5: konstrukcija pentagrama

slika 6: zlatni odnosi krakova unutar prentagrama

U središtu petokrake zvijezde nalazi se manji pentagram čije dijagonale iscrtavaju novi, manji pentagram, postavljen naopako. Njegovi su krakovi opet u omjeru zlatnog reza. U manjoj je zvijezdi još manja, i tako se pentagram beskonačno kopira sam u sebe (slika 7). Pitagorejci su petokraku zvijezdu nazivali pentalfa, jer je sastavljena iz pet slova A, i bila je tajni znak njihovog bratstva.

slika 7: kopiranje pentalfe unutar sebe

Pogledajmo pored sebe: presijecimo jabuku na pola i ugledat ćemo sjemenke raspoređene na peterokutnoj osnovi. I cvijet same jabuke je peterokutan, kao i neki drugi cvjetovi (slika 8).

slika 8: cvijet jabuke i njen presjek

    Peterokut još nije iscrpio svoje mogućnosti. Povezivanjem dva susjedna kuta s centrom čini trokut, koji prepolovljen daje tzv. Pitagorin trokut, pravokutan, sa stranicama 3-4-5, odnosno baza 3 : hipotenuza 5 = 0,6. Ili skraćeno baza1: visina1,6 = 0,618 , zlatni odnos (slika 9). I vanjski krakovi zvijezde čine trokute sa jednakim odnosima (slika 10). I takvi trokuti su prepoznatljivi u prirodi – pogledajmo metriku rasta cvjetova na slici 11.

slika 9: Pitagorin trokut u pentagramu   slika 10: trokut sa zlatnim omjerima u pentagramu

slika 11: metrika rasta cvjetova po Pitagorinom trokutu

Načinimo i najkompleksniju konstrukciju. Iz osnovnog kvadrata 1:1 konstruirajmo zlatni (slika 12), i u novom pravokutniku izvucimo dijagonalu AB. Na sjecištu starog brida DE dobivamo točku F iz koje povlačimo paralelu do G. Tako smo desni kvadrat DECB presjekli na dva manja- jedan ponovno jednakostraničan (FECG), i jedan u zlatnom rezu (FGBD). Nova dijagonala (DC) i novo sjecište (H) prelamaju novi zlatni kvadrat na dva manja, opet jednakostraničan i zlatni, ali drugog, vertikalnog, usmjerenja (DFHI). Novim dijagonalama i novim sjecištima stvaraju se rotacije sve manjih zlatnih i jednakostraničnih kvadrata do određenog centra. Ako sada ubodemo šestar u toku D i spojimo gornji lijevi kut s točkom E, zatim ubodemo u točku F i spojimo E sa G, ubodemo u H i spojimo G sa I itd., dobivamo dinamičnu spiralu. Cijelu ovu konstrukciju nazivamo vrtložni pravokutnik, i on čini osnovu rasta mnogih organizama u prirodi. Pogledajmo najočitiji primjer školjke, pa suncokreta, uzoraka paunovog repa ili češera (slika 13).

slika 12: konstrukcija vrtložnog pravokutnika

slika13: školjka, suncokret, paunov rep i češer - neki primjeri dinamične spirale

Sada, kada znamo što tražimo, izmjerimo i izračunajmo odnose i proporcije radnih prirodnih oblika; zapanjit će nas učestalost zlatnog omjera u svim vidovima organskog života. Ako negdje ne uočavamo zlatni rez otprve, to može biti i zbog deformacije fiktivne mreže u kojoj zamišljamo ucrtan neki oblik; pa iako dvije ribe na slici 14 izgledaju posve različito, analiza njihovih mreža pokazuje da obje imaju identičnu strukturu, pa tako i razmjere koji se bez mjerenja ne mogu uočiti. Ne čudi nas zato da je i samo ljudsko tijelo krojeno po istim prirodnim krojevima, i da ispod praga svijesti čovjek prepoznaje i osjeća u prirodi taj uzorak koji oduvijek nosi u sebi. To je posebno zainteresiralo umjetnike koji su, neki svjesno, neki nesvjesno, ugradili ta pravila u svoja djela. “Sviđanje” u tim djelima, kao i u prirodi, je u velikoj mjeri određeno prepoznavanjem metrike kozmosa od kojeg smo svi načinjeni.

slika 14: ribe različitog izgleda ali jednake strukture

Miroslav Huzjak

Literatura: György Doczi - The Power of Limits, Shambala & Boston i London, 1994.
Mladen Pejaković, Nenad Gattin – Starohrvatska sakralna arhitektura, Kršćanska sadašnjost, Zagreb, 1988.
Jadranka Damjanov – Vizualni jezik i likovna umjetnost, Školska knjiga, Zagreb, 1991.
Nikola Despot – Svjetlo i sjena, Tehnička knjiga, Zagreb, 1966.